Futbola Fenerbahçe'de başladı. Fenerbahçe genç takımında oynadıktan sonra 16 yaşında 1.takımına alındı. Fenerbahçe'li Otomobil Nuri'nin Altınordu Kulübü'ne geçmesiyle Bekir'de Altınordu'ya geçti ve Altınordu'nun üstüste şampiyonluklarında büyük pay sahibi oldu. Altınordu'nun dağılmasıyla yeni kurulan İttihatspor'un formasını giymeye başladı. İttihatspor'da da forma giyerken Galatasaray'ın yurtdışı turnesine davet edildi. Avrupa'ya giden sarı-kırmızılı ekip Bekir'i de beraberinde götürerek Avrupa takımlarıyla maç yapmaya başladı, turnenin Almanya ayağında ise Phonix Karlsruhe takımıyla yapılan maçta Almanların dikkatini çekti, bu takımda oynaması için götürülen teklife Bekir sıcak bakarak turne dönüşü Ekim 1921'de Phonix Karlsruhe takımına transfer oldu.
Böylece ilk defa bir Türk futbolcunun yurtdışına transferi gerçekleşti. Bombacı Bekir 1924 Paris ve 1928 Amsterdam Olimpiyatlarına katılan Milli takım kadrosunda yer aldı, bu iki Olimpiyatta da atmış olduğumuz toplam 3 gole adını yazdırdı.(1924 Paris Olimpiyatlarında Çekoslovakya:5-Türkiye:2 ve 1928 Amsterdam Olimpiyatlarında Mısır:7-Türkiye:1) Bekir Refet Almanya'da futbol hayatına devam ederken bazen Türkiye'ye davet edilir, özellikle Galatasaray-Fenerbahçe karmalarının yurtdışı takımlarıyla oynadıkları maçlara iştirak ederdi.
Bazen de sadece Fenerbahçe formasını giyip yurtdışı takımlarına karşı mücadele ederdi. Bombacı Bekir'in Türk futbolunda Bombacı lakabını almasının başlıca sebeplerinden biri çok sert şut çekerek kalecileri sakatlaması gelir. Hatta bazı efsaneler de Bekir'in attığı şutların boğayı öldürdüğü, ineğin kaburgasını kırdığı, kale direklerini yıktığı söylenir. Bunların hangisi doğru hangisi yanlış bilemeyiz ancak Bombacı Bekir'in çok iyi bir sporcu ve futbolcu oluşuydu.